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By Christian Tapp

ISBN-10: 364229653X

ISBN-13: 9783642296536

ISBN-10: 3642296548

ISBN-13: 9783642296543

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Diese Stelle steht jedoch im Kontext von Hilberts „Bau der logischen Grundlagen des mathematischen Denkens“, der höchstens eine Vorstufe zum später entwickelten Konzept des Finitismus oder der ideal/real-Unterscheidung ist. 48 Vgl. Goldfarb, Logic in the Twenties [1979]; Hilbert/Ackermann, Theoretische Logik [1928]. 49 Das ist auch gegen Peckhaus’ Einschätzung zu sagen, daß Hilbert erst 1928 mit der Ausarbeitung des Hilbert-Ackermann „die logische Grundlage seines metamathematischen Programms gelegt“ habe; vgl.

Auch tiefschürfende Untersuchungsansätze zur räumlichen Anschauung vermochten es nicht in befriedigender Weise als „Grundwahrheit“ auszuweisen. Kann man es dann einfach als Axiom postulieren? Die Notwendigkeit, dieses alte Problem zu entscheiden, ergab sich durch die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien. Im 19. Jahrhundert stellte sich heraus, daß sie keine bloß hypothetische Möglichkeit waren, Geometrie zu betreiben, sondern wirklich anwendungsfähige Theorien. Durch Konstruktion von Modellen für die nichteuklidischen Axiomensysteme in euklidischen Systemen war zudem ihre relative Widerspruchsfreiheit gesichert: Wenn die euklidische Geometrie widerspruchsfrei ist, dann sind es nichteuklidischen Geometrien auch.

20 1 Einleitung Hilbert suchte daher nach einem direkten Weg, um von bestimmten Schlußweisen und Axiomen zu zeigen, daß sie widerspruchsfrei sind. Die Grundidee war schlicht, daß man den verwendeten Methoden irgendwie unmittelbar „ansehen“ müßte, daß sie nicht auf Widersprüche führen können. 40 Diesen Dingen und ihren Kombinationen entsprechen Symbole und Kombinationen von Symbolen. Weitere Symbole stehen für aussagenlogische Junktoren. Die „Theorie“ besteht aus einigen wenigen Axiomen. An ihnen kann man fast unmittelbar „ablesen“, daß sie nicht auf Widersprüche führen können.

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by James
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